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如何透彻理解多重积分、格林公式、曲线积分等内容而不是只会套用计算公式做计算题?

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如何透彻理解多重积分、格林公式、曲线积分等内容而不是只会套用计算公式做计算题?

下文思路:先介紹路徑獨立和保守場,接着介紹梯度場和勢函數,再接着介紹格林公式及通量和格林公式的另一種形式。

獨立路徑和保守場:

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上圖的向量場為 overrightarrow{F}=<y,x>c_{3} 為y=x的一部分, c_{1}c_{3} 的夾角為45°。

現在,我們來看沿閉合曲線的線積分 c

c=c_{1}+c_{2}+c_{3}tag{1}

先沿 c_{1} 積分 :because{y}=0,,dy=0thereforeint_{c_{1}}y,dx+x,dy=int_{c_{1}}0,dx+xcdot0=0tag{2}

此時,從圖片也能看出 overrightarrow{F}widehat{T} 垂直,他們點積為0,所以積分後的結果為0。

接着沿 c_{2} 積分:

這是一小段圓弧,我們想用參數方程(θ)來替換了x和y。從圖可以看出母線長為1。則

begin{cases} x=costheta\ y=sintheta end{cases}tag{3}

分別對x和y求微分:

begin{cases} ,dx=-sintheta,dtheta\ ,dy=costheta,dtheta end{cases}tag{4}

theta 從0°變到45°

int_{c_{2}}sinthetacdot(-sintheta),dtheta+costhetacdotcostheta,dtheta=int_{c_{2}}cos^{2}theta-sin^{2}theta,dtheta=int_{0}^{frac{pi}{4}}cos2theta,dtheta=frac{1}{2}tag{5}

最後沿c_{3}積分:

同樣,我們可以用一個參數t來描繪x和y的變化 begin{cases} x=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}t\ y=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}t end{cases}tag{6}

此時t是從0變到1 int_{c_{3}}y,dx+x,dy=int_{c_{3}}(frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}t)cdot(-frac{sqrt{2}}{2}),dt+(frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}t)cdot(-frac{sqrt{2}}{2}),dt=int_{0}^{1}t-1,dt=-frac{1}{2}tag{7}

把(2)、(5)、(7)式的結果加在一起就是沿整個閉合曲線的積分。其結果為0。

值得注意的是:(7)式的結果和「功」的符號恰好相反。

上面的步驟有些麻煩,下面開始說簡便方法,也是跟本節內容息息相關的。

我們先來看看一種向量場:當一個二元函數存在時,就有梯度向量,那時候,它只是一個向量,但它依賴於x和y,事實上,是一個向量場。

這是一個有趣的特殊的例子,也就是向量場 overrightarrow{F} 實際上是一個函數的梯度,也就是梯度場。f是一個關於x和y的函數,稱為向量場的勢函數。這樣叫的原因來自於物理學,在物理學裡面,把勢(電勢或者重力勢)稱為勢能,這個關於位置的函數告訴我們,處於力場的某點有多少勢能,梯度則告訴我們力,事實上,有點區別。如果你是物理學家,力其實是負的梯度。也就是,物理學家的勢能和數學家勢能相差一個負號。

我們下面將藉助這個物理概念來簡化問題。

我們都知道,重力勢能的變化只與始末位置有關,那麼遷移到這里,我們就可以用始末位置的值的差來計算線積分。其實,這些都是反映了線積分的微積分基本定理的特例——微積分基本定理。

線積分的微積分基本定理:如果沿一條曲線對一個函數的梯度做積分,計算結果會是F在P1點的值減去F在P0點的值。

int_{c}bigtriangledown{f}cdot{d}overrightarrow{r}=f(p_{1})-f(p_{0}) 這是一條相當漂亮的式子。不過只在這個場確確實實是一個梯度的時候才起作用。如果知道一個梯度,相應地就有一個函數f。當然這里指的不是任意場,必須是梯度場F。在後面的章節我們會判斷一個場是否是梯度場。如果是梯度的話,怎樣算出勢函數,我們會在後面提到。

現在我們需要知道多一點,比如它到底是什麼?在物理上的意義是什麼?怎麼幾何直觀地想象等等。或者可以說,如何在坐標形式下寫出來?

因為這是一個非常有用的辦法去思考它。如果給出沿C的線積分,一個梯度場和df的積分是一樣的。int_{c}f_{x}dx+f_{y}dy=int_{c}df=fleft( p_{1} right)-fleft( p_{0} right) 註:中間積的是f的導數,這就是F場的變化。

當然如果這樣寫的話,它的形式和一元微積分的表述是一樣的。

實際上,這也是我們證明的思路。

下面來證明這個定理: int_{c}bigtriangledown{f}cdot{d}overrightarrow{r}=int_{c}f_{x},dx+f_{y},dy      tag{1} 接下來我們想用一個函數來把變量x和y把它都變為一個。

我們設函數 c= begin{cases}       x=x(t)\       y=y(t) end{cases}tag{2}

我們分別對x和y做微分

dx=x{'}(t),dt\ dy=y{'}(t),dttag{3}

把(3)帶入(1),得: int_{c}f_{x}x{'}(t),dt+f_{y}y'(t),dt=int_{t_{0}}^{t_{1}}frac{df}{dt},dt+frac{df}{dt},dt=int_{t_{0}}^{t_{1}},dftag{4}

註:假設上式中,t從t_{0}變到t_{1}

此時已經變為了一元函數的微積分,我們下面運用牛頓萊布尼茨公式

int_{t_{0}}^{t_{1}},df=left[f(x(t),y(t))right]_{t_{0}}^{t_{1}}tag{5}

因為t是中間變量,所以我們應該把t代入,得到 p_{1}和p_{0} ,即

int_{t_{0}}^{t_{1}},df=f(p_{1})-f(p_{0})tag{6} 證明結束。

下面來看一個例子:

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c2與c3的交點為根號2分之1,且c3為y=x的一部分
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這張圖片更好看一點,並且發現這個向量場是垂直水平線的

這是一個向量場,但它是一個梯度場嗎?這個向量場是 overrightarrow{F}=<y,x>可以想到哪個函數關於x的偏導數是y,關於y的偏導數是x?想一想發現xy正好合適。

overrightarrow{F}=<y,x>=nabla{f},f(x,y)=xy 得知這個函數後,我們根據上面的那個圖像就可以求它的曲線積分了。

先沿曲線 c_{1} 積分,由於方向場垂直路徑,所以做功為0。

下面沿 c_{2} 積分 int_{c_{2}}overrightarrow{F},doverrightarrow{r}=f(frac{1}{sqrt{2}},frac{1}{sqrt{2}})-f(1,0)=frac{1}{2}-0=frac{1}{2}

接着沿 c_{3} 積分 int_{c_{3}}overrightarrow{F},doverrightarrow{r}=f(0,0)-f(frac{1}{sqrt{2}},frac{1}{sqrt{2}})=0-frac{1}{2}=-frac{1}{2}

把沿各路的曲線積分即做的功加起來,發現他們為0。

從起點最終回到了原來的地方,f沒有變化,這看上去有點詭異,但在概念上很重要,因為很多力都是勢場的梯度,比如重力場,電場。

問題是,不是所有向量場都是梯度,很多向量場都不是梯度。比如磁場就不是梯度。

一定要注意,上面的一切只在F是梯度場的時候才成立,不是的話就不成立。

我們來看看基本定理可以產生什麼結果: (註: F一定要是梯度場(再強調一遍)

  • 它的積分路徑是獨立的。

也就是說,如果我需要計算一個線積分,只要確定了起點和終點,不論我的積分路徑怎麼選擇,它的積分值只跟起點終點的值有關。

int_{c_{1}}nabla{f},doverrightarrow{r}=int_{c_{2}}nabla{f},doverrightarrow{r}\ (假設c_{1}和c_{2}的起點和終點一樣)

還是要提醒!你不能在所有的場裡面都使用這個性質,不是梯度場的話不行

下面開始性質的證明:

步驟很簡單,只要用到牛頓萊布尼茨公式就行,它告訴我們,如果沿 c_{1} 計算線積分,結果就是f在起點的值減去在終點的值,對 c_{2} 做相同的事情,他們的結果是一樣的。因此,他們是相等的。

所以,如果給你向量場,去做曲線積分時,你不需要知道它的勢函數,也不用想辦法去求他,只需要知道它的起點和終點,相減就可以了,非常方便

除了上面的那個性質,還有一個性質

  • 梯度場也是一個保守場,即 overrightarrow{F}=nabla{f} is conservative.

那麼什麼是保守場?

「守恆」這個詞來自於物理學,如果能量守恆,就意味着你不可能在力場裡面無償地得到能量。

意思是:如果沿一條閉合的曲線積分(起點和終點相同),在保守場里,它做的功為0。如果不是,閉合曲線,它的功不為0。在就是保守的定義。

如果我取任意閉合曲線,所做功全都是0,即為保守;相反,不保守就意味着,某個地方,沿閉合曲線所做的功不是0。

如果你找到一條曲線,沿之做功為零的話,還不足以說明這是一個保守場。你必須指出它是任意曲線才行

具體來說,如果你有一個保守力場,就不能建立起永恆的運動(第一類永動機)。你不可能建立一直由這些力驅動的運動,因為這些力沒有提供任何的能量,在你繞圈運動之後,從力所提供的的能量觀點來看,什麼也沒有發生,力沒有做任何功。當你有一個非保守場的時候,或者可以找到一個迴路,繞它運動所做的功是正的,然後就可以知道會一直運動。

實際上,如果你觀察磁場的話,變壓器和電源適配器等類似的裝置,他們都是從磁場裡面得到能量,當然,實際上你必須要有電源供應,用以維持磁場,不過就這樣的磁場來講,你還是可以近於無償地得到能量,在重力場或者電場裡面就做不到了。

那麼為什麼會是這樣呢?

因為,你在重力場或者電場里,繞一個閉合線路做功,根據上面的性質,他們的起點值和終點值相同,起點值減終點值為零。

為了強調不是所有場都是梯度場,我們來看上一篇的那個向量場,它是 overrightarrow{F}=<-y,x>

一個點繞原點逆時針轉動,如下圖


下面沿閉合路徑積分 int_{c}overrightarrow{F}cdot{widehat{T}},ds=int_{c},ds=2pine0

其中 overrightarrow{F} 是曲線的切向量, widehat{T} 是沿切線的單位向量,由於單位圓上, overrightarrow{F} 的長度是1,所以,積分就是1ds的積分。

由於結果不為0,這個向量場不是保守場。也就是說,他不是任意函數的梯度,當然,如果他是,他就是保守場了。

並且我們還可以發現它不是獨立路徑:

我們分別沿上半圓積分和下半圓積分,一個結果為 pi ,一個結果為 -pi 。兩個結果不同,所以這個場不具有之前那些性質也不是梯度。

上面是一個非保守場的例子。

下面把它遷移到物理里:

有一個力場,它是某種勢的梯度,於是,F做的功就是勢的變化,是終點和起點之間的變化量。

我們常見的重力場或者電場以及它們對應的重力勢和電勢(電勢即所謂的電壓)。

保守性意味着:不可能無償地從場裡面提取能量。用大白話說就是:你不可能在場裡面找到一個運動粒子,它不斷地運動,還越來越快,或者存在摩擦的時候,它能一直運動下去,也就是總能量是守恆的。

一小段總結:

  • 有一個向量場,它是保守的,那麼沿任意閉曲線的線積分的結果是0。
  • 線積分的路徑獨立性:有兩條端點一樣的路徑,做線積分的話,得到的結果是一樣的。
  • overrightarrow{F} 是一個梯度場,則 overrightarrow{F}=<f_{x},f_{y}>
  • M,dx+N,dy 是一個恰當的微分 =d_{f} ,這就意味着向量場是一個梯度場。

梯度場和勢函數:

上面說到了向量場和梯度場,如果一個向量場是梯度場,那麼它的線積分與積分路徑無關,只與始末位置在勢函數中的值有關——類比重力場和電場。

現在,我們來探討下什麼樣的向量場是梯度場,並且如何找出其勢函數。

我們已經知道如果向量場是梯度場,那麼 overrightarrow{F}=bigtriangledown{f}=<M,N> ,其中 M=f_{x} , N=f_{y} 。在混合導數里,我們又知道 f_{xy}=f_{yx} 。所以, f_{xy} 是否等於 f_{yx} 就是判斷向量場是否是梯度場的方法。當然,它還需要一個條件——向量場在平面內處處有定義,且處處可導。

看一個例子: overrightarrow{F}=-ywidehat{i}+xwidehat{j}

分別求偏導: frac{partial{M}}{partial{y}}=-1ne1=frac{partial{N}}{partial{x}}

所以這不是一個梯度場。

再來看一個例子:overrightarrow{F}=(4x^{2}+axy)widehat{i}+(3y^{2}+4x^{2})widehat{j} 其中a是一個常數,問a為何值時, overrightarrow{F} 為梯度場。

很明顯,當a=8時, overrightarrow{F} 為梯度場。

接着我們開始求它的勢函數。

求勢函數有兩種方法

其一:計算線積分

根據上一節的梯度的性質可知,梯度場中,線積分的值至於始末位置有關,與路徑無關。為了計算方便,所以我們可以先沿x軸積分再沿 x=x_{1} (平行於y軸)積分,並且取從原點開始的路徑(實際上任何點都行,原點其實相對好算點)。

我們知道 int_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=f(x_{1},y_{1})-f(0,0) (梯度場中),這意味着我可以這樣寫 f(x_{1},y_{1})=int_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}+f(0,0) ,其中 f(0,0) 是一個常數,


沿x軸積分時: y=0,,dy=0


int_{c_{1}}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=int_{0}^{x_{1}}(4x^{2}+8xy),d{x}+(3y^{2}+4x^{2}),d{y}=int_{0}^{x_{1}}4x^{2},dx=frac{4}{3}x_{1}^{3}tag{1}

再沿x=x1積分:此時 ,dx=0

int_{c_{2}}3y^{2}+4x^{2},dy=int_{0}^{y_{1}}3y^{2}+4x^{2},dy=[y^{3}+4x^{2}y]_{0}^{y_{1}}=y_{1}^{3}+4x^{2}y_{1}tag{2} 把(1)式和(2)式加起來:

f(x,y)=int_{c}(4x^{2}+8xy),dx+(3y^{2}+4x^{2}),dy+c=frac{3}{4}x^{3}+y^{3}+4x^{2}y+c現在我們來看另一種方法:求不定積分

此時我們需要解一個方程組 begin{cases} f_{x}=4x^{2}+8xy\ f_{y}=3y^{2}+4x^{2} end{cases}

f_{x} 求積分,得{f}=frac{4}{3}x^{3}+4x^{2}y+g(y) 其中 g(y) 是一個常數。

此時我們已經知道了 f ,那麼下面我們利用 fy 求偏導,得

f_{y}=4x^{2}+g'(y) 與方程組里的 f_{y} 對比,可得 g'(y)=3y^{2} 在此順便補充一點,如果你求的 g'(y) 里不應該含有x。如果含有x,說明這是一個不好的消息,你需要從頭去檢查一下,或者判斷一下它是否真的是梯度場。

我們接着對 g'(y) 求積分,可得g(y)=y^{3}+c

再把 g(y) 代入 f ,得:{f}=frac{4}{3}x^{3}+4x^{2}y+y^{3}+c

這種方法的優點是:不用寫出任何積分;缺點是:必須仔細按這個流程計算

下面我們深入一點,在深入之前,先回顧一下之前說過的很多概念

  1. 一個向量場 overrightarrow{F}=<M,N> 在給定平面區域內是梯度場
  2. 保守場:在任意封閉曲線上的線積分為0。(這里介紹一個新的符號 oint ,它僅僅告訴我們這條曲線自我封閉,終點就是起點,這並不改變任何關於定義的事情,也不影響怎麼來計算或改變其他的東西。只是提醒你是在封閉曲線上做積分,這個在物理應用上很有用,當你這樣來說明問題,它會提醒你,我需要在一條封閉曲線上來做)
  3. 在每一點上 N_{x}=M_{y} ,這個條件表明了 F 的旋度為0,這是 N_{x}=M_{y} 的新的表述方式。

上面的第一點和第二點是等價的。

總結一下:如果有一個梯度場,那就能得到 N_{x}=M_{y} ,如果 F 定義在整個平面上,反過來也是正確的。以後我們會知道,在一個單連通區域上也可以。總之,N_{x}=M_{y} ,推出梯度場的條件是只有在向量場定義在整個平面上或者定義在單連通區域上

接下來,我們介紹一個量,它在物理上很常用,它可以用來判斷一個場是否是保守場。這個量叫向量場的旋度。

定義是: F 的旋度等於 N_{x}-M_{y} ,即 curl(overrightarrow{F})=N_{x}-M_{y}它用來衡量向量場是不是保守場。 保守場就等價於 F 的旋度為0.

下面來介紹旋度用來衡量什麼,下面給出了一些直觀的常識。

首先看一下對於速度場,旋度衡量的是運動的旋轉部分,專業術語來講就是:衡量運動的渦度。它指出在給定點上扭轉程度有多大。

例如,給定一個常向量場,流體同向流動,向量場視為常數,旋度自然就位0.因為求導的話得到結果是0,事實上,這不是我們所說的渦流,這里沒有旋渦。


再來看個例子,還是沒有旋轉的。比方說,一個徑向向量場,從原點向外流動,


overrightarrow{F}=<x,y> 如果計算旋度,需要對第二個分量關於x求導減去第一個分量對y求導,結果為0。即 curloverrightarrow{F}=frac{partial{(y)}}{partial{x}}-frac{partial{(x)}}{partial{y}}=0 我們先來想這是怎麼回事,這里沒有旋轉的,另一方面考慮我們最喜歡的旋轉向量場 <-y,x> ,它的旋度 curloverrightarrow{F}=frac{partial({x})}{partial{x}}-frac{partial({-y})}{partial{y}}=2 ,這就和旋轉的事實對應上了,實際上,是以單位角度旋轉。旋度實際上衡量的是:在任意給定點,旋度是運動旋轉角速度的兩倍。對於真實的運動,比這些更復雜的運動場,設想一個包含平移的影響,或者膨脹影響或者旋轉影響或者其他影響。旋度衡量的是在某點上的旋轉的程度。

你看天氣預報中實際風速圖中,高旋度的地方可能是颶風或龍卷風或那樣的東西,讓人很討厭的東西,旋度的正負告訴你它是順時針旋轉還是逆時針旋轉。

旋度衡量的是速度場中的旋度是旋轉部分的角速度的兩倍。那麼在力場中呢?力場的旋度衡量的是被測物體上任一點所受到的扭矩。扭矩是力轉動的對應量。類似於速度對應角速度,質量對應轉動慣量,根據這個類比關系,力除以質量是加速度,加速度是速度的導數。扭矩除以轉動慣量就會引起角加速度,也就是角速度的導數。即

frac{torque}{moment ,of,inertia}=frac{d,angular,velocity}{dt}

Rightarrowfrac{force}{mass}=frac{d,velocity}{dt} 現在你知道,速度場的旋度衡量的是旋轉的角速度,類似的,力場的旋度衡量的是受力物體單位轉動慣量的扭矩

具體來講,想象一下,你要放東西在那裡,如果是在一速度場內,旋度告訴你,在給定的時間他旋轉的速度,如果你流體中放些漂浮物,很輕的東西,然後開始旋轉,速度場的旋度告訴你,它的旋轉速度有多快,只是以兩倍顯示;力場的旋度告訴你角速度增加或減小的快慢。

格林公式:

上面,我們講到了旋度。如果一個向量場旋度為0,說明它是保守場,我們就可以利用勢函數的值來計算。

如果現在有一個普通的向量場,它依然是封閉的曲線,我們除了線積分還可以怎麼計算呢?格林公式可以幫助我們。

格林公式:如果c是封閉的曲線,且包含着區域R在內,C是逆時針的(如果有一條是順時針的,那就反過來,逆時針積分就行,之所以定理選擇逆時針積分而不是順時針,基於我們對旋度的約定,我們知道旋度是 N_{x}-M_{y}而不是反過來的,這也是一種約定,這兩種規定互相對應。),如果有一個向量場,且是處處有定義且處處可微的,不僅在我們要定義線積分的曲線C上,而且在內部的區域也成立,那麼沿着C的線積分實際上等於在整個內部區域上對旋度的二重積分。即

oint_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=iint_{R}curloverrightarrow{F},dA

如果要寫成坐標的形式,應該這樣寫: oint_{c}M,dx+N,dy=iint_{R}(N_{x}-M_{y}),dA 這個式子左邊的積分定義在曲線上,右側的積分定義在整個內部區域,在曲線上,x和y是相關的(定義在曲線上);內部區域裡,x和y是相互獨立的。它們之間僅存在界限。當然所做的積分是不同的,一個是線積分,一個是關於區域的二重積分。

下面我們來看看具體怎樣使用它,它敘述了什麼,結果是什麼,以及怎樣證明公式是成立的等等。

使用格林公式需要注意一點:它的區域必須要是封閉的,如果不是封閉的,你必須一步步,慢慢地進行曲線積分,或者你也可以加一條線,是區域封閉。所以,格林公式只能在曲線封閉的條件下使用

舉一個例子:假設給定一個曲線C,它是圓心在(2,0)半徑是1的圓,而且假設積分時逆時針的。這樣就能符號格林公式敘述的要求了。假設要計算沿着C的線積分 oint_{c}ye^{-x},dx+(frac{1}{2}x^{2}-e^{-x}),dy 我們先思考以前學過的方法:

我們可以令 begin{cases} x=2+costheta\ y=sintheta end{cases} ,將他們參數化,然後從0積分到2π。但是因為存在 e^{-x} ,會增加我們的難度,所以,我們考慮用格林公式去計算二重積分:

oint_{c}ye^{-x},dx+(frac{1}{2}x^{2}-e^{-x}),dy=iint_{R}N_{x}-M_{y},d{A}=iint_{R}x+e^{-x}-e^{-x},dA=iint_{R}x,dAiint_{R}x,dA=Area(R)cdotbar{x}=picdot2=2pi 下面證明這個定理的成立:

先從最簡單的入手——特例,假設這個例子中的旋度是0,然後要證明 overrightarrow{F} 是保守場。oint_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=iint_{R}curloverrightarrow{F},dA=0 所以 overrightarrow{F} 是一個保守場。如果特殊一些,你有一條處處定義的向量場,做任何一條封閉曲線,那麼得到的線積分就是0,但是,只有在逆時針的曲線是成立的。

所以,格林公式的一個結論是:如果 overrightarrow{F} 在區域上處處有定義,而且 overrightarrow{F} 的旋度處處是0那麼 overrightarrow{F} 就是保守的。

所以,一個梯度場是保守的話,那麼它的旋度為0,沿着閉合曲線逆時針積分為0,所以 oint_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=iint_{R}curloverrightarrow{F},dA=0 這也驗證了格林公式在旋度為0這個特殊情況下的正確性。

然後假設在向量場上計算,在原點無定義的問題。假設有個單位圓,它是封閉的,所以我們可以用格林公式


格林公式告訴我們,沿着這個環的線積分等於整個區域上旋度的二重積分,這個單位圓盤,原點處旋度是0,在這里,向量場沒有任何意義,你不能微分,旋度也就沒有定義了,這樣就會比較麻煩了,你不能把格林公式用到這個向量場。所以當曲線包圍原點時,你不能在向量場上使用格林公式,也就是即使旋度為0,它也不是保守場的原因。

下面開始從正面真正的證明格林公式,先從證明下面的等式開始: oint_{c}M,dx+N,dy=iint_{R}(N_{x}-M_{y}),dA 這樣做就可以稍微簡化一些證明了。

為了更簡單化些,我們還可以繼續細分:

先證:oint_{c}M,dx=iint_{R}-M_{y},dA(這是假設N=0的特例) 這樣你就只有x的元素在向量場內了。

同理,如果上面的等式證明出來,也就可以證明出了:oint_{c}N,doverrightarrow{r}=iint_{R}N_{x},dA然後把上面兩式加起來,就驗證了格林公式這個結論。

現證明只有x元素的情況:

當然,有時,積分區域的圖形很難看,我們沒辦法二重積分,此時,我們只需要用豎線把它分割成幾個小塊就行。分割方式以利於計算為主。分割後,我們只需證明(假設分為了兩塊)

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oint_{c_{1}}M,doverrightarrow{r}=iint_{R_{1}}-M_{y},dA\ oint_{c_{2}}M,doverrightarrow{r}=iint_{R_{2}}-M_{y},dA\ oint_{c}M,dx=oint_{c_{1}}M,doverrightarrow{r}+oint_{c_{2}}M,doverrightarrow{r}=iint_{R}-M_{y},dA

也許你會擔憂到,我們也對區域內部的線做了積分,沒錯那是我們不需要的。但是兩次積分方向相反,所以相互抵消。所以好消息是,它並沒有對我們造成影響。

下面說一下分割區域通常的方法:

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這個圖形里,我們用了2個豎的直線把它分割成了5小塊,此時a<x<b,f1(x)<y<f2(x),這樣對於y我們就有了確定的上下界。

剩下的就是主要具體步驟:

如果C是R的邊界,並且是逆時針的,我們用簡單的豎線將它分割(如下圖)

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開始證明: oint_{c}M,dx=iint_{R}-M_{y},dA 雖然這個式子沒有具體數字,我們還可以繼續化簡它。我們可以把它分為4個小塊做曲線積分

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其中, c_{1} 的線積分:int_{a}^{b}M(x,y),d{x}=int_{a}^{b}M(x,f_{1}(x)),d{x}c_{2} 的線積分: int_{c_{2}}M(x,y),d{x}=0\(因為x=b,,dx=0,而又沒有y,所以結果為0)

c_{4} 的積分與 c_{2} 相同,也為0.

c_{3} 的積分與 c_{1} 類似: int_{b}^{a}M(x,y),d{x}=-int_{a}^{b}M(x,f_{2}(x)),d{x}

把他們都記起來: int_{c}M,dx=int_{a}^{b}M(x,f_{1}(x)),dx-int_{a}^{b}M(x,f_{2}(x)),dx

這就是左邊的部分。我們對比下二重積分,看看能不能得到兩式相等。 iint_{R}-M_{y},dA=-iint_{R}M_{y},dA=-int_{a}^{b}int_{f(x_{1})}^{f(x_{2})}frac{partial{M}}{partial{y}},dy,dx=-int_{a}^{b}[M]_{f(x_{1})}^{f_(x_{2})},dx

-int_{a}^{b}[M]_{f(x_{1})}^{f_(x_{2})},dx=-int_{a}^{b}M(x,f(x_{2})-M(x,f(x_{1}),dx

-int_{a}^{b}M(x,f(x_{2})-M(x,f(x_{1}),dx=int_{a}^{b}M(x,f_{1}(x)),dx-int_{a}^{b}M(x,f_{2}(x)),dx

所以等號成立,證明完畢。

最後附一個很棒的例子:在生活中的一個方面,格林公式曾經非常有用。之所以是曾經是因為計算機把它廢掉了。

它叫測面器,它能夠測量面積,它曾經被實驗科學家使用,做些生物和化學實驗或諸如此類的事。

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他們會需要這些記錄儀器,資料不會傳進軟盤或硬盤,因為那時實驗室里還沒有計算機。他們會錄入一張坐標紙,得到的坐標紙,上面就有一些曲線,而且你需要知道綜合起來的數據總量或者其他的問題,它可能和曲線圍城的面積有關,那麼,你會說那很簡單,積分就可以了。除非你不知道函數是什麼,把函數輸進計算器,下一件要做的事是計算每個小的部分,只要有坐標紙,只是時間的問題了。所以人們發明了這個測面器,它是有一個角的滿沉的東西,而且有很多儀表和表盤,還有一個可以移動的臂。那麼你要做的就是移動臂並沿着曲線移動,然後觀察儀表,當你轉完一圈回到這里時,表盤就顯示這個區域的面積值。


那它怎麼工作呢?這個小玩意不知道內部的區域,因為移動沒經過內部,只是沿着曲線移動,它實際上做的是計算線積分。它有着由輪和其他一些東西組成的系統,為你計算了沿着C的線積分,當然,這基於一些模型,不過它們中的一些在計算xdy的線積分,它們中的一些在做不同的線積分。但是它們確實算了一些線積分,對吧?如果運動一下格林公式,你就發現當沿着一個逆時針的曲線時,結果就是區域的面積。這就是它的工作原理。當然,現在可以使用計算機做加法了,而且這個東西特別貴,幾千美元甚至更多。

oint_{c}x,dy=iint_{R}1,dA=Area(R)


通量及格林公式的另一種形式:

通量其實是另一種曲線。有一條平面曲線和這個平面上的向量場,根據定義 overrightarrow{F} 通過平面曲線C上的通量是一個線積分。用 int_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds 表示。

其中, widehat{n} 是這個曲線上的單位法向量,我們通常規定,沿着曲線移動方向的右側為曲線的法向量的方向。同時, widehat{n} 也是 widehat{T} 順時針旋轉90°得來的。


如果把曲線 c 分割成很多長為 Delta{s} 的小曲線,那麼通量就是對 overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds 求和的極限。對每段小曲線,求出 overrightarrow{F}cdotwidehat{n} ,把這些加到一起,這就是線積分了。再次聲明,這不是計算方法。跟求做功的方法比較一下:int_{c}overrightarrow{F}cdot,doverrightarrow{r}=int_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{T},ds這個是求出向量在切線方向的分量。這其實是對向量場 overrightarrow{F} 在切向方向的分量求和,粗略地說:「功」度量的是,沿着曲線前進, overrightarrow{F} 做多少功或克服 overrightarrow{F} 做多少功。另一方面來看,「通量」度量的是,沿着曲線前進時,大致會有多少向量場通過曲線。指向右的取正值,指向左的取負值。所以,通量是 overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds 的積分。這相當於對向量的法向量的分量求和。

假設 overrightarrow{F} 是一個流速場,也就是說,假定流體正在流動,那向量場代表的是流體在平面上的每一點的流動情況。

所以,通量度量的是單位時間內有多少流體通過曲線 c

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這是曲線的一小段,長度為 Delta{S} 。流體在向右移動,經過一段時間,它流過的面積是一個平行四邊形。

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這就是在單位時間內通過一小部分曲線的流體了。

為了算出這部分的流量,我們需要算平行四邊形的面積。為了算出它我們將上圖旋轉一下。

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單位時間內,通過一部分 c 的流體,就是一個底在 c 上的平行四邊形裡面的東西。它的長度是 Delta{s} ,就是 c 的一小段。(看下圖)

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四邊形的面積就是底乘高,即 Area=Delta{s}cdot(overrightarrow{F}cdotwidehat{n}) 也許你會擔心,在很短的時間內,流速的方向和大小會發生變化。所以,你在微分的時候,時間和方向都要盡可能的小。

流過 c 的右側的,從左到右通過 c ,當作正值來算;從右流向左的,當作負值來算。這就是單位時間通過 c淨流量了。

下面通過一個例子,來說明如何計算它。

假設 c 是一個半徑為a,中心在原點的曲線,方向為逆時針方向。假設向量場 overrightarrow{F}=xwidehat{i}+ywidehat{j} 。(如下圖)


現在,假設有一個圓,方向為逆時針方向。因為曲線逆時針,按照「約定俗成」,法向量應該指向所流方向的右側,所以這里,法向量指向外側。這也表示了從內向外所流出的流量。


半徑為a

這里的 overrightarrow{F}widehat{n} 平行, overrightarrow{F}cdotwidehat{n}=left| F right|cdotleft| n right|cdotcostheta=left| F right|cdot1cdot{1}=left| F right|=a(overrightarrow{F}的模長為到原點的距離) ,且沿線積分為圓的周長 2pi{a} ,所以它的通量就為 int_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds=int_{a}^{b}a,ds=acdot2pi{a}=2pi{a^{2}}答案正如我們當初想的那樣,為正值。因為流體是朝外流的。

如果把向量場換為 overrightarrow{F}=<-y,x> ,曲線 c 不變。我們經常遇到這個向量場,知道它是逆時針旋轉,它與圓的切向量平行。這就意味着它的法向量為0。那麼 overrightarrow{F}cdotwidehat{n}=0 ,並且通量(flux)為0。

上面的全是通過幾何的方法來求通量,那對於復雜的情況(圖形)呢?

其實還是用線積分,只是形式變了而已。

我們知道 ,doverrightarrow{r}=widehat{T},ds=<dx,dy>widehat{n},ds 是什麼呢?

widehat{n}widehat{T} 旋轉90°得到的。所以 widehat{n},ds=<dy,-dx>

假設現在有一個向量場 overrightarrow{F}=<M,N> ,那麼它的線積分即為:int_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds=int_{c}<M,N><dy,-dx>=int_{c}-Ndx+Mdy當然,除了曲線積分,我們還可以使用另一個版本的「格林公式」來幫助我們化簡。當然,這就需要它是一個閉合的曲線了,並且是逆時針,在R上處處有定義,處處可微分。

然後我們就可以用某個函數的二重積分來替代通量的線積分了,然而,這個函數正是 overrightarrow{F} 的散度。

我們依然假設 overrightarrow{F}=<P,Q> ,然後 oint_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds=iint_{R}divoverrightarrow{F},dA

其中, div<P,Q>=Px+Qy

這應該被稱為正交形式的格林公式。昨天寫的那種格林公式,求的是做功,是在切線方向上的積分。今天這個是通量,是沿着法向積分。


上面的話,用圖形來描述就是上圖的這個樣子,它指的是從內向外的流量,此時值為正的,當然有的曲線部分方向向內,值去負,當然,也有的方向為切線方向,值為0 。

下面開始證明:好消息是,證明比昨天的那個簡單多了,因為本質是一樣的。僅僅是用了不同的符號。

我們先把 int_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds 的形式寫出來oint_{c}-Q,dx+P,dy=iint_{c}(P_{x}+Q_{y}),dA 接着,我們令 M=-QN=P ,得出 oint_{c}M,dx+N,dy=iint_{R}(N_{x}-M_{y}),dA 現在M,N分布又是什麼呢?

M=-Q ,所以 Q_{y}=-M_{y}P=N ,所以 P_{x}=N_{x} .只是重命名了分量,就變了另一種形式,但還是原來的定理。所以這也是還稱為格林公式的原因了。

說到底,他們的區別也就在於一個計算功,一個計算通量。

我們再來看一下下面這幅圖的通量

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這次我們用格林公式:divoverrightarrow{F}=frac{partial{x}}{{x}}+frac{partial{y}}{y}=2oint_{c}overrightarrow{F}cdotwidehat{n},ds=iint_{R}divoverrightarrow{F},dA=iint_{R}2,dA=2cdotpi{a^{2}}=2pi{a^{2}}

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假設圓不在圓心了。此時它的通量一部分值為正,一部分值為負(左下方的通量是朝內部流的)。此時用線積分來計算好像變得更難了,但是我們用二重積分來算的話,發現它依然是圓面積的2倍。

所以,不管這個圓放在哪裡,這個通量的值都是固定的。

最後來解決一下什麼是散度:

散度是用來度量物體的發散程度。如果取的向量場是處處恆定的,所有點的向量都是平移關系,所以沒有散度,因為導數為0。如果讓同一向量旋轉變化得話,還是回算得散度為零。這對於平移不敏感,無論是平移還是旋轉。但對於伸縮變化,就不一樣了。所以,散度,它度量了流體膨脹後所要占據的空間。

一種理解是通過想象,氣體在膨脹,那它將會占據更多的空間;如果是水的話,它不會膨脹或者凝縮,之所以它會占據更多的體積,是因為水的總量在變大。

另一種理解的方法是:散度是源頭的「冒出率」,它是流體往系統輸入的量,也就是單位時間內,單位面積新冒出的流體。

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